En mathématiques et en informatique, il est souvent nécessaire de convertir un nombre d’un système de numération à un autre : décimal, binaire, octal ou hexadécimal.
Comprendre les méthodes de conversion permet de manipuler facilement les nombres et de mieux comprendre le fonctionnement des ordinateurs.
Dans cet article, nous allons présenter les principes de base et les méthodes pour convertir les nombres entre différents systèmes.
1. Conversion vers le système décimal
a) De n’importe quelle base vers le décimal
Pour convertir un nombre d’une base
b
b vers le décimal :
Identifier les chiffres du nombre.
Multiplier chaque chiffre par la puissance de la base correspondant à sa position (en partant de la droite, position 0).
Additionner tous les résultats.
Exemple : Convertir 1011₂ en décimal
1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀
Exemple : Convertir 2F₁₆ en décimal
2×16¹ + F(15)×16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀
2. Conversion du décimal vers une autre base
a) Méthode des divisions successives
Pour convertir un nombre décimal en une autre base
b
b :
Diviser le nombre par la base
b
b.
Noter le reste (ce sera le chiffre le plus à droite).
Diviser le quotient obtenu par
b
b, et noter le reste suivant.
Répéter jusqu’à ce que le quotient soit 0.
Lire les restes de bas en haut pour obtenir le nombre converti.
Exemple : Convertir 47₁₀ en hexadécimal
47 ÷ 16 = 2 reste 15 → 15 = F
2 ÷ 16 = 0 reste 2
→ Résultat : 2F₁₆
Exemple : Convertir 11₁₀ en binaire
11 ÷ 2 = 5 reste 1
5 ÷ 2 = 2 reste 1
2 ÷ 2 = 1 reste 0
1 ÷ 2 = 0 reste 1
→ Résultat : 1011₂
3. Conversion entre binaire, octal et hexadécimal
a) Binaire → Octal
Regrouper les bits par groupes de 3 en partant de la droite.
Convertir chaque groupe en chiffre octal.
Exemple : 110101₂ → octal
Groupes : 110 | 101 → 6 | 5
Résultat : 65₈
b) Binaire → Hexadécimal
Regrouper les bits par groupes de 4 en partant de la droite.
Convertir chaque groupe en chiffre hexadécimal.
Exemple : 11010111₂ → hexadécimal
Groupes : 1101 | 0111 → D | 7
Résultat : D7₁₆
c) Octal → Binaire
Remplacer chaque chiffre octal par son équivalent en 3 bits.
Exemple : 65₈ → binaire
6 = 110, 5 = 101 → 110101₂
d) Hexadécimal → Binaire
Remplacer chaque chiffre hexadécimal par son équivalent en 4 bits.
Exemple : 2F₁₆ → binaire
2 = 0010, F = 1111 → 00101111₂
4. Conseils pratiques
Conversion vers le décimal : utile pour vérifier vos calculs.
Conversions binaire ↔ octal / hexadécimal : rapides et pratiques pour les programmeurs.
Toujours vérifier la base du nombre avant de convertir.
5. Résumé visuel
Conversion Méthode
n’importe quelle base → décimal Multiplication par les puissances de la base et addition
décimal → autre base Divisions successives, lire les restes de bas en haut
binaire ↔ octal Groupes de 3 bits
binaire ↔ hexadécimal Groupes de 4 bits
Conclusion
Savoir convertir les nombres entre différents systèmes est essentiel en mathématiques et en informatique.
Le décimal reste intuitif pour les humains.
Le binaire est le langage des ordinateurs.
L’octal et l’hexadécimal facilitent la lecture et la manipulation des nombres binaires.
Maîtriser ces conversions permet de mieux comprendre le fonctionnement des ordinateurs et d’écrire des programmes efficaces.