Tous les systèmes de numération — qu’ils soient décimal, binaire, octal ou hexadécimal — reposent sur un concept fondamental : la base.
Comprendre la notion de base est essentiel pour effectuer correctement les conversions entre les systèmes, car elle détermine la valeur de chaque position dans un nombre et les chiffres autorisés.
Dans cet article, nous allons expliquer comment la base influence les conversions et montrer des exemples pratiques.
1. Qu’est-ce qu’une base ?
La base d’un système de numération indique le nombre de symboles différents utilisés pour représenter les nombres :
Système Base Chiffres utilisés
Décimal 10 0–9
Binaire 2 0,1
Octal 8 0–7
Hexadécimal 16 0–9, A–F
Chaque position dans un nombre représente une puissance de la base :
La position la plus à droite = base⁰
La suivante = base¹
Puis base², et ainsi de suite
2. Conversion entre bases : principe général
La conversion d’un nombre repose sur la base du système source et celle du système cible.
a) De n’importe quelle base vers le décimal
On utilise la valeur positionnelle :
Deˊcimal=∑i=0nchiffrei×(base)i
D
e
ˊ
cimal=
i=0
∑
n
chiffre
i
×(base)
i
Exemple : Convertir 1011₂ en décimal
1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀
Exemple : Convertir 2F₁₆ en décimal
2×16¹ + F(15)×16⁰ = 32 + 15 = 47₁₀
b) Du décimal vers une autre base
On utilise les divisions successives par la base cible :
Diviser le nombre par la base.
Noter le reste.
Répéter jusqu’à ce que le quotient soit 0.
Lire les restes de bas en haut.
Exemple : Convertir 47₁₀ en hexadécimal
47 ÷ 16 = 2 reste 15 → F
2 ÷ 16 = 0 reste 2
→ Résultat : 2F₁₆
3. Conversions directes entre systèmes non décimaux
Certaines conversions peuvent se faire sans passer par le décimal, grâce à la relation entre les bases :
Binaire ↔ Octal : 1 chiffre octal = 3 bits
Binaire ↔ Hexadécimal : 1 chiffre hexadécimal = 4 bits
Exemple : 11010111₂ → Hexadécimal
Regrouper en 4 bits : 1101 | 0111 → D7₁₆
Exemple : 237₈ → Binaire
Chaque chiffre octal → 3 bits : 2 → 010, 3 → 011, 7 → 111 → 010011111₂
4. Importance de la notion de base
Comprendre la base permet de :
Vérifier la validité des chiffres dans chaque système
Calculer la valeur réelle d’un nombre
Effectuer des conversions précises et rapides
Comprendre la logique des ordinateurs et des programmes