La notion de base dans les systèmes de numération
Introduction
Dans tous les systèmes de numération, qu’ils soient décimal, binaire, octal ou hexadécimal, il existe un concept fondamental : la base. Comprendre ce qu’est la base est essentiel pour lire, écrire et convertir les nombres entre différents systèmes.
Dans cet article, nous allons expliquer la notion de base, son rôle et ses implications dans les systèmes de numération.
1. Qu’est-ce que la base d’un système ?
La base (ou radix) d’un système de numération est le nombre de chiffres distincts utilisés pour représenter tous les nombres dans ce système.
Base 10 → 10 chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (système décimal)
Base 2 → 2 chiffres : 0, 1 (système binaire)
Base 8 → 8 chiffres : 0 à 7 (système octal)
Base 16 → 16 chiffres : 0 à 9 et A à F (système hexadécimal)
La base détermine la valeur de chaque position dans un nombre.
2. La valeur positionnelle
Dans un système positionnel, la valeur d’un chiffre dépend de sa position dans le nombre.
La valeur de chaque position est une puissance de la base.
Exemple en base 10 (décimal) : 345
3 × 10² = 300
4 × 10¹ = 40
5 × 10⁰ = 5
→ Total = 345
Exemple en base 2 (binaire) : 1011₂
1 × 2³ = 8
0 × 2² = 0
1 × 2¹ = 2
1 × 2⁰ = 1
→ Total = 11₁₀
Exemple en base 16 (hexadécimal) : 2F₁₆
2 × 16¹ = 32
F (15) × 16⁰ = 15
→ Total = 47₁₀
3. Pourquoi la base est importante ?
La base détermine :
Quels chiffres sont disponibles pour représenter un nombre.
Comment les positions augmentent de valeur.
Comment convertir un nombre d’un système à un autre.
Sans notion de base, il serait impossible de comprendre ou de manipuler les nombres dans différents systèmes.
4. Bases courantes et leurs usages
Base Chiffres utilisés Usage principal
2 0, 1 Informatique, circuits électroniques
8 0–7 Historique en informatique, permissions Unix
10 0–9 Quotidien, mathématiques
16 0–9, A–F Programmation, adresses mémoire, couleurs
5. Exemples de compréhension de la base
Nombre 345 en base 10 : chaque chiffre peut aller de 0 à 9, base 10.
Nombre 1011 en base 2 : chaque chiffre peut aller de 0 à 1, base 2.
Nombre 157 en base 8 : chaque chiffre peut aller de 0 à 7, base 8.
Nombre 2F en base 16 : chaque chiffre peut aller de 0 à F (15), base 16.